1. Sebutkan sifat-sifat himpunan dan contohnya! 2. Sebutkan sifat-sifat operasi himpunan dan contohnya!

Sifat-sifat himpunan dan contohnya. Himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang sudah terdefinisi dengan jelas. Operasi himpunan terdiri dari irisan (A ∩ B), gabungan (A U B), komplemen ([tex]A^{c}[/tex]) dan selisih (A – B). Berikut akan dijelaskan sifat-sifat operasi himpunan dan contohnya.

Pembahasan

Sifat-sifat himpunan dan contohnya

1) Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, contoh:

• A = {1, 2, 3}
• B = {1, 2, 3, 4, 5}

Maka

A himpunan bagian dari B (A ⊂ B), tetapi B bukan himpunan bagian dari A (B ⊄ A)

2) Banyak himpunan bagian dari suatu himpunan yang memiliki anggota sebanyak n adalah 2ⁿ, contoh:

• A = {1, 2, 3}

Maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2³ = 8

3) Himpunan kosong (∅ atau { })merupakan himpunan bagian dari semua himpunan, contoh

• A = {1, 2, 3} maka { } adalah himpunan bagian dari A ({ } ⊂ A)
• B = {a, b, c} maka { } adalah himpunan bagian dari B ({ } ⊂ B)

4) Dua buah himpunan dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota yang sama pada kedua himpunan tersebut, contoh

• A = {1, 2, 3}
• B = {a, b, c}

A dan B saling lepas karena tidak ada anggota yang sama

4) Dua buah himpunan dikatakan tidak saling lepas jika ada anggota yang sama pada kedua himpunan tersebut. Contoh:

• A = {1, 2, 3}
• B = {2, 3, 4}

A dan B tidak saling lepas karena ada anggota yang sama yaitu {2, 3}

5) Dua himpunan dikatakan sama jika semua anggotanya sama, dan jumlah anggotanya juga sama. Contoh:

• A = {1, 2, 3}
• B = {3, 1, 2}

maka A = B

6) Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika jumlah anggotanya sama. Contoh:

• A = {1, 2, 3}
• B = {a, b, c}

A ekuivalen dengan B (A ≈ B)karena memiliki jumlah anggota yang sama yaitu sebanyak tiga buah.

Sifat-sifat operasi himpunan dan contohnya

Pada himpunan A, B, dan C berlaku sifat-sifat berikut:

1) Sifat Komplemen

• [tex](A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}[/tex]
• [tex](A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}[/tex]
• [tex](A^{c})^{c} = A[/tex]

2) Sifat Identitas

• A U ∅ = A
• A ∩ ∅ = ∅  

3) Sifat Idempoten

• A U A = A
• A ∩ A = A

4) Sifat Komutatif

• A U B = B U A
• A ∩ B = B ∩ A

5) Sifat Asosiatif

• (A U B) U C = A U (B U C)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

6) Sifat distributif

• A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
• A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Contoh:

• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 6}
• C = {2, 3, 5}

1) Sifat komplemen

[tex]A^{c}[/tex] = {5, 6} ⇒ [tex](A^{c})^{c}[/tex] = {1, 2, 3, 4} = A

• Jadi [tex](A^{c})^{c} = A[/tex]

[tex]B^{c}[/tex] = {1, 2, 4, 5}

[tex]A^{c} \cap B^{c}[/tex] = {5}

[tex]A^{c} \cup B^{c}[/tex] = {1, 2, 4, 5, 6}

(A U B) = {1, 2, 3, 4, 6}  

⇒ [tex](A \cup B)^{c}[/tex] = {5} = [tex]A^{c} \cap B^{c}[/tex]

• Jadi [tex] (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}[/tex]

(A ∩ B) = {3}  

⇒ [tex](A \cap B)^{c}[/tex] = {1, 2, 4, 5, 6} = [tex]A^{c} \cup B^{c}[/tex]

• Jadi [tex] (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}[/tex]

2) Sifat Identitas

• A U ∅ = {1, 2, 3, 4} U { } = {1, 2, 3, 4} = A
• A ∩ ∅ = {1, 2, 3, 4} ∩ { } = { } = ∅

3) Sifat Idempoten

• A U A = {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} = A
• A ∩ A = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} = A

4) Sifat Komutatif

• A U B = {1, 2, 3, 4} U {3, 6} = {1, 2, 3, 4, 6}
• B U A = {3, 6} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 6}

Jadi A U B = B U A

• A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 6} = {3}
• B ∩ A = {3, 6} ∩ {1, 2, 3, 4} = {3}

Jadi A ∩ B = B ∩ A

5) Sifat Asosiatif

• (A U B) U C = {1, 2, 3, 4, 6} U {2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• A U (B U C) = {1, 2, 3, 4} U {2, 3, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Jadi (A U B) U C = A U (B U C)

• (A ∩ B) ∩ C = {3} ∩ {2, 3, 5} = {3}
• A ∩ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} ∩ {3} = {3}

Jadi (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

6) Sifat distributif

• A U (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} U {3} = {1, 2, 3, 4}
• (A U B) ∩ (A U C) = {1, 2, 3, 4, 6} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4}

Jadi A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

• A ∩ (B U C) = {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 5, 6} = {2, 3}
• (A ∩ B) U (A ∩ C) = {3} U {2, 3} = {2, 3}

Jadi A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang himpunan

• Contoh himpunan: https://brainly.co.id/tugas/1243724
• Komplemen himpunan: https://brainly.co.id/tugas/12809925
• Himpunan bagian: https://brainly.co.id/tugas/15520520

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 7

Mapel : Matematika  

Kategori : Himpunan

Kode : 7.2.1

Kata Kunci : Sifat-sifat himpunan dan contohnya